2017年1月22日 星期日
實用數學問題:選對象
再出一個問題,與前一問題相關。也是找男女朋友的策略。
如果一個人一生只能遇到10個可能結婚的對象,他們當中是有合適不合適的差別,出現是隨機排列的,假設某人有能力記得所有過去出現在身邊的人選,並且能自由選擇,但是一旦結婚了,不能後悔。放棄不選的不能再回頭。請問他要使用什麼策略,才能在這十個對像中選到最適合的一個?這題是有答案的。
通常人的策略就是第一個就選了,還可能跳過一個,選後面出現比第一個更合適的。或跳過兩個。策略的意思就是說,要跳幾個,再拿後面的來比較,才可能有最大的機率選到最合適的?
本題沒有任何意味要人挑三揀四,純粹討論數學。
參考答案:
這題目是1979年一個數學雜誌刊出來的,真的較難。但是直覺來講一定是有答案。用電腦模擬就可以一個一個策略試出來,那一個最好。題目出處。
http://gurmeet.net/puzzles/horses-at-an-auction/
我嘗試把網上的講解用好懂的話語說出來。
首先考慮這個問題:如果有n個人選在列。挑選者跳過一個,再拿其餘的人選一個一個與第一個比較,選出最好的機率是多少?
假設這跳過的第一個是第 k好的人,換句話說有k-1個人比他好,會在後面出現。選中最好的機率就是(第k好的人出現在第一個的機率)x(k-1個比第一個更好人選裡面,最好的首先出現的機率)=(1/n) x (1/(k-1))。因為k-1個比第一個更好的,總有一個要最先出現被選到,誰最先?每一個的機率都是1/(k-1)。
我們現在把k從1到n全部加起來,就是最後選到第一的機率。就是:(1/n)(0+1+1/2+1/3+1/4+....+1/(n-1))
上式解釋如下: 第一個假如就是最好的,那後面再出現最好的機率就是0。第一個出現的假如是次好的。最好的在後面出現您的比例就是1。第一個是第三好,最好在後出現的機率就是1/2。同理類推。
整數數列相加,可以用積分來估計:
(1/n)(0+1+1/2+1/3+1/4+....+1/(n-1))> (1/n) integration_1^n-1 (1/n) (請看下面的積分式子) =(1/n)(log(n-1))。也就是把n個機率加起來,約等於對(1/n)的積分,從1積到n-1。結果就是 (1/n)*(log(n-1))。
請參照
https://en.wikipedia.org/wiki/Harmonic_series_(mathematics)
現在,把這個結果推到跳過h個可能最好人選。文中說:最好的人出現在後面的機率,出現在h=n/e的情形下,e=2.71828...。 (這部分還需要推導)。
結論是:10個人選,(h~=10/2.7)要選出最好的,先要跳過前三個看到的暫時最好者。找到最好的機率最高。
此題目不是要我們找對象時挑三揀四,因為我們的人選並沒有很多,而且情人眼裡出西施,一旦愛下去了之後,就完全失去判定好壞的能力了。建議,選前貨比三家不吃虧,選下去了,第一個就是最好的。別後悔了。
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